Tema 56 Evolución histórica de la geometría

1. Introducción

En el presente tema expondré un recorrido por la historia de la geometría, desde su surgimiento en las civilizaciones fluviales (Egipto y Mesopotamia), su máxima época de esplendor en Grecia, con filósofos-matemáticos como Pitágoras y Tales, así como aquellos de la talla de Euclides, que si bien no realizó ningún descubrimiento nuevo, sentó las bases de manera ordenada de la geometría conocida hasta la fecha, creando un tratado, los Elementos, que es el segundo libro más impreso de la historia, solo por detrás de la Biblia. Estudiaremos también el desarrollo de la disciplina a lo largo del Renacimiento y de la Edad Moderna, aunque el mayor desarrollo de la disciplina se da en el siglo XIX, con la ruptura con la geometría euclídea, en particular de su quinto postulado, dando lugar a nuevas geometrías: la geometría hiperbólica o lobachevskiana y la geometría elíptica o riemannianna.

Debido a la posible extensión del tema, el desarrollo no puede ser exhaustivo, por lo que no será incluido el desarrollo de otras civilizaciones como la china, india o maya, que a pesar de haber realizado contribuciones a la disciplina, no son tan relevantes.

2. Periodo prehelenístico

2.1 Egipto

El historiador Heródoto visitó Egipto alrededor del año 450 a.C. Tras su labor de documentación, sostiene que la Geometría surgió en Egipto, de la necesidad de los topógrafos egipcios (en esa época, “tensadores de cuerdas”) de delimitar las sucesivas crecidas del río Nilo. Una década más tarde, Aristóteles especuló sobre el mismo tema, sugiriendo que la Geometría surgió debido a la existencia de una clase social sacerdotal ociosa, que se deducaba a tareas puramente intelecutales. Este debate, sobre si la Geometría (y más generalmente, las matemáticas) surgió debido a un motivo puramente práctico o intelectual no es exclusivo de la matemática egipcia y llega hasta nuestros días.

Destacamos en nuestro estudio dos papiros con resultados geométricos: el papiro de Rhind o de Ahmes (Rhind fue el anticuario inglés que lo compró y Ahmnes el escriba), escrito en escritura hierática; y el papiro Golenischev o de Moscú. En el papiro de Ahmes encontramos numerosos problemas matemáticos, principalmente de corte aritmético, aunque también algebraicos y geométricos. Por ejemplo, el problema 51 muestra que el area de un triángulo isósceles es la mitad de lo que nosotros llamaríamos la base, y multiplicando esto por su altitud. Ahmes basa su razonamiento en que el triángulo isósceles se puede descomponer en dos triángulos rectángulos, y una rotación de uno de ellos transforma la figura en un rectángulo. Esta clase de transformaciones nos podría hacer pensar el inicio de una teoría de congruencia y de la “demostración” en geometría propiamente dicha. Sin embargo, la geometría egipcia adolece de una clara falta de distinción entre relaciones exactas y otras que son solo aproximaciones.

La regla egipcia para calcular el área de un círculo ha sido durante largo tiempo pensado como uno de los mayores logros matemáticos de la época. En el problema 50, Ahmes asume que el área de un campo circular de diámetro 9 unidades es la misma que la de un cuadrado con lado 8. Si lo comparamos con la fórmula actual, vemos que Ahmes habría tomado un valor de pi igual a 3.16, sorprendentemente preciso. Sin embargo, en ningún momento se evidencia que es una aproximación y no el valor exacto. En el problema 48 se muestra cómo se pudo haber llegado a esa fórmula, mediante el cálculo del area de un octógono inscrito en un círculo.

2.2 Mesopotamia

El desarrollo de las matemáticas en la civilización babilónica se centró más en el álgebra que en la geometría, siendo para ellos esta útltima una suerte de álgebra aplicada o geometría. Sin embargo, una de las evidencias arqueológicas más conocidas, la tablilla Plimpton 322, datada entre 1900 y 1600 a.C., muestra una tabulación en la que se presentan diferentes valores de la base y de la altura de un triángulo rectángulo y del que sería el valor de la secante al cuadrado, (c/b)^2, siendo esto un ejemplo indirecto de tríadas pitagóricas.

Con un enfoque más puramente geométrico, los babilonios generalmente calculaban el area de un círculo como 3 veces el radio al cuadrado, con una precisión de pi bastante menor a la egipcia. Esto ha hecho pensar que su geometría es peor que su álgebra. Sin embargo, unas tablillas encontradas en Susa, a kilómetros de Babilona, muestran un procedimiento en el que se da a pi el valor de 3.125, un valor tan bueno como el egipcio. En esta tablilla se comparan ratios entre areas de figuras geométricas, pero el interés de los escribas era más en comprobar la fiabilidad de las aproximaciones numéricas usadas para la medida que un interés puro geométrico.

3. Grecia

Los griegos son los padres de la geometría formal, iniciando el estudio y demostración rigurosa de la geometría de figuras en el plano y el espacio. El primero de los matemáticos griegos, según fuentes secundarias, es Tales de Mileto (ca. 624 - 548 a.C.). Tales es considerado el primero de los Siete Sabios de Grecia, pupilo de los egipcios y caldeos (babilónicos). La leyanda atribuye a Tales la demostración del hecho que un triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo, que un diámetro bisecta un círculo, que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales y resultados sobre congruencia de triángulos. Debido a que se le atribuyen demostraciones de estas proposiciones, se considera a Tales como el primer matemático verdadero, que realizó una organización deductiva de la geometría.

Pitágoras de Samos (ca. 580 - 500 a.C.) es una figura mucho más legendaria y apoteósica, siendo considerado un místico y profeta de su propio culto, formado en la ciudad de Crotona de la Magna Grecia. Este culto era muy similar a los cultos órficos, germen de la filosofía griega. De Pitágoras solo tenemos referencias secundarias y toda referencia primaria se ha perdido. Debido al carácter comunal del culto pitagórico, se desconoce de la veracidad de la atribución de todos los descubrimientos de Pitágoras a este, incluido su famoso teorema, que por otra parte pudo haber aprendido en Babilonia. El lema de la escuela pitagórica es que “todo es número”, lema que entra en conflicto con la posterior crisis de los inconmesurables. Una de las figuras más estudiadas por los pitagóricos es la del pentagrama, y la proporción entre sus diferentes secciones.

[Insertar figura del pentagrama y de la proporción áurea]

El el siglo quinto antes de Cristo, tras la victoria sobre los medos por parte de la liga helénica, se inicia una edad de oro en el mundo heleno. La prosperidad en Atenas atrae pensadores como Anaxágoras o Zenón de Elea, destacando la fundación de la Academia de Platón, donde se puede leer en su epitafio la inscripción “Ageometretos hoper deixai”, prohibida la entrada al ignorante en geometría. Plutarco nos cuenta que mientras Anaxágoras era prisionero (por asegurar que el sol no era una deidad), se entretuvo con el problema de encontrar un cuadrado de área igual a un círculo dado. Anaxágoras muere durante la famosa plaga que asoló Atenas, y ante la consulta que realizaron los atenienses oráculo de Delos, la musa replica que el altar cúbico a Apolo debe ser doblado para placar al dios. Así surge según la leyenda el problema de la duplicación del cubo. El último problema de esta tríada de famosos problemas resueltos en el siglo [TODO por determinar] es la trisección del ángulo. De Zenón de Elea obtenemos las famosas paradojas sobre la imposibilidad del movimiento.

Tras la muerte de Alejandro Magno, queda un vacío de poder en todo el imperio macedonio. Sus generales se reparten el territorio, siendo Ptolomeo el que controlará Egipto, región en la que se funda Alejnadría, ciudad que será el centro cultural y científico del mundo. Se fundan el Museo (literalmente, templo de las Musas) y la Biblioteca, que se convirtieron en cuna de sabios como Euclides, autor del tratado de matemáticas más famoso, los Elementos (Stoicheia). Este tratado no era un compendio, sino un texto introductorio cubriendo toda la matemática elemental: arimética, geometría sintética (de planos, puntos, rectas, círculos y esferas) y álgebra (no en el sentido moderno sino su equivalente geométrico). El libro se divide en trece capítulos, comenzando sin prolegómeno alguno, con una lista de veintitrés definiciones, como “Una línea es longitud sin ancho” o “Un punto es el que no tiene partes”. A esto le siguen cinco postulados y cinco nociones comunes. De dichos postulados, el más famoso es el quinto postulado o postulado de las paralelas:

Si dos líneas rectas se encuentran con una tercera línea recta tal que los ángulos interiores del mismo lado suman menos de dos ángulos rectos, entonces dichas líneas se encontrarán en un punto en el lado en el que los ángulos suman menos que dos ángulos rectos.

Como veremos posteriormente, la búsqueda de la demostración de este postulado fue infructuosa hasta el siglo XIX, donde se dió una respuesta negativa a su veracidad: existen geometrías que no lo verifican pero en las que el resto de axiomas se mantienen válidos.

En cuanto a Arquímedes, vivió la mayor parte de su vida en la ciudad de Siracusa, y es considerado como uno de los grandes matemáticos de la Antigüedad. Fue un gran calculista, mejorando notablemente la aproximación del número pi hasta 5 cifras exactas mediante la circunscripción de polígonos regulares y el cómputo de su perímetro, método conocido como de exhaución. En mecánica descubrió la palana, y el hidráulica, el principio que lleva su nombre. En cuanto a geometría, destacamos sus obras “Sobre conoides y esferoides”, donde calcula las fórmulas de superficie y volumen de la esfera, superficies de revolución de segundo grado, etc. Destacan también sus obras “Sobre la espirales”, donde trata las tangentes a curvas con métodos similares a los infinitesimales, usados más de un milenio después. También se le atribuye la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo a partir de la longitud de sus lados.

Apolonio de Perge desarrolla en el siglo II a.C. su teoría sobre las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola, y propiedades de estas como su diámetro, focos, tangentes, polos, haces de rectas, etc. Su muerte pone fin a la edad de oro de la geometría griega. También desarrolla la teoría de los epiciclos, celebrada en Astronomía y comenzada por el modelo de las esferas concéntricas de Eudoxo.

Tras su muerteomienza entonces un periodo de menos avances, no sin grandes figuras como Ptolomeo y Pappus. De Ptolomeo destacamos el Almagesto, la mayor obra de trigonometría de la Antigüedad, cuyo nombre en griego era la “Síntaxis matemática”. Almagesto surge de la consideración de la obra de Ptolomeo como la mejor, la megiste, y de ahí que los árabes, difusores fundamentales del conocimiento griego tardío, la llamasen Almagesto. De esta obra destacan sus tablas trgonométricas, así como el teorema de Ptolomeo, del cual se pueden deducir la fórmulas del coseno y seno de la suma de ángulos. De Pappus destacamos su Sinagoga, con los famosos teoremas de Pappus sobre rectas paralelas y concurrentes.

3. Edad media y moderna

Los matemáticos islámicos, que desarrollaron, conservaron y propagaron la mayor parte del conocimiento matemático desde el siglo VII hasta el XV d.C. estaban más inclinados hacia el álgebra que la geometría, pero sus intentos por demostrar el quinto postulado de Euclides son numerosos. Los desarrollos durante el Renacimiento en Europa fueron también principalmente algebraicos, y en la geometría se basaron en la trigonometría, pricipalmente por parte de astrónomos como Copérnico, Galileo y Kepler.

En el siglo XVI, los principales avances surgieron en Alemania por parte de Johannes Werner, y Alberto Durero; y en Italia por Maurolico y Pacioli. Los avances surgieron principalmente por la necesidad de la técnica artística, especialemnte la teoría de la perspectiva. También destaca la aportación de Gerard Mercator, geógrafo flamenco, que supuso una ruptura con la geografía ptolemaica del mismo nivel que la de Copernico con la astronomía. Este introdujo la proyección usada en la mayoría de mapas actuales, que a diferencia de la proyección tolemica, que solo conservaba formas, también preserva la dirección.

3.1 Geometría analítica

La gran novedad del siglo XVII fue la introducción por parte de Descartes de la geometría analítica, introduciendo el uso de coordenadas referidas a dos ejes en el plano, produciendo la aritmetización de la geometría, en su obra “La géométrie”, un apéndice del “Discurso del método”. Este tratado está devotado a la aplicación de la geometría al álgebra y viceversa, pero muchas de sus nociones son muy distintas a lo que conocemos hoy como geometría analítica. Así, se introduce el concepto de coordenadas referidas a un par de ejes arbitrarios, pero se usan ejes no necesariamente rectangulares sino oblicuos, luego no hay formulas para la distancia, pendiente, angulo entre dos rectas, etc. Además, no se usan las absisas negativas. Descartes también introduce la relación entre las ecuaciones de dos incógnitas y los lugares geométricos del plano, es decir, el conjunto de puntos tal que $f(x,y) = 0$ definen una curva.

Fermat, un abogado que estudiaba matemáticas como entretenimiento, realizó una exposición más clara y didáctica que la de Descartes, y tomó como eje de ordenadas el perpendicular a las abscisas. Gran parte del trabajo matemático del siglo XVII fue pues en traducir al lenguaje algebraico moderno resultados como los de Apolonio (por parte de Fermat) y Pappus (por parte de Descartes).

En el siglo XVIII, Newton también realizo estudios de curvas de diferente orden y secciones cónicas, pero la obra más importante de esta época es la “Introductio” de Leonhart Euler, quien expuso de forma completa la geometría analítica de la época. En ella estudia y clasifica las cónicas, refiriéndolas a unos ejes y no al diámetro, y rompiendo de forma definitiva con la exposición de Apolonio.

3.2 Geometría proyectiva

El arquitecto francés Girard Desargues estudió en su “Brouillon projet d’une atteinte aux événements des recontres d’un cone avec un plan”. Desargues introduce aspectos ya estudiados sobre la teoría de la perspectiva en las cónicas, introduciendo el concepto de “foco en el infinito” para la parábola. Su teorema más famoso, el toerema de Desargues, que dice

Si dos triángulos están situados altes que las rectas que unen vértices correspondientes son concurrentes, entonces los puntos de intersección son colineales, y conversamente.

no fue publicado en este libro (que pese a el tratamiento exquisito de las cónicas tuvo muy poco éxito entre sus contemporáneos, en parte debido a la terminología empleada por Desargues), sino en una obra por su amigo Abraham Bosse.

Destacamos también la figura de Gaspard Monge y de su obra “Géométrie Descriptive”, en el cual incluye el estudio de la perspectiva, propiedades de las superficies, rectas normales y planes tangentes. Introduce de forma rigurosa la representación de figuras tridimensionales en planos mediante sistemas de representación, como la perspectiva cónica o un nuevo sistema introducido por este, el sistema diédrico.

La tremenda labor didáctia de Monge en la École Polytechnique fue una de las causas de las numerosas contribuciones de sus estudiantes ante este resurgimiento de la Geometría. Entre ellas, destacamos el teorema de Brianchon, también descubierto por Blaise Pascal un tiempo antes: en un hexágono inscrito en una sección cónica, los puntos de intersección de lados opuestos están alineados. Este teorema se expresó por primera vez en forma dual, característica tan prolífica de la geometría proyectiva plana, por la cual se pueden intercambiar las nociones de punto y recta, y de indicencia. Por lo tanto el teorema se puede reexpresar como: los seis vértices de un hexágono están en una cónica si y solo si los tres puntos comunes a los tres partes de lados opuestos tienen una recta en común.

4 Geometrías no eucídeas

4.1 Antecedentes

Gauss, el príncipe de las matemáticas, aun no siendo apasionado por la geometría, realizó contribuciones significativas, incluyendo ideas inéditas sobre el postulado de las paralelas en 1824 y un tratado fundamental en 1827. Tanto él como su amigo Wolfgang Bolyai intentaron probar el postulado, pero Gauss concluyó que era indemostrable y anticipó el desarrollo de la geometría no euclidiana. Su decisión de no publicar estas ideas hizo que el crédito por la geometría no euclidiana recayera en otros.

Gauss inició en 1827 la geometría diferencial, un campo que se centra más en el análisis que en la geometría clásica. Aunque el cálculo ya se aplicaba al estudio de curvas y superficies desde Newton y Leibniz, fue Gauss quien formalizó la disciplina en su tratado Disquisitiones Circa Superficies Curvas, definiendo conceptos clave como la curvatura de Gauss, que mide la curvatura de una superficie en un punto. Además, desarrolló fórmulas y teoremas notables sobre propiedades de curvas, como las geodésicas, que aún son fundamentales en el campo.

4.1 Geometría hiperbólica de Lobachevsky

Lobachevsky causó una revolución en las matemáticas, y más aun en la geometría, demostrando que la geometría euclídea no era la verdad absoluta que se había asumido anteriormente. Con su pubicación de “Sobre los principios de la geometría” se inicia el campo de la geometría no euclídea. Asume que datdo un punto C fuera de una recta AB existe más de una línea en el plano paralela a AB. Asumientdo este principio, desarrolla una geometría sin contradicciones, pero tan contraria al sentido común que la denomina “geometría imaginaria”. El espacio canónico que hoy en día se considera como modelo de la geometría lobachevskiana es la pseudoesfera, obtenida al girar la curva tractriz sobre su asíntota.

Las principales peculiaridades de esta geometría son que las rectas paralelas no equidistan en todas sus partes, que la suma de los ángulos de un triángulo siempre es menor que 180º, y depende de su área, por lo que no existen triángulos semenjantes. Tampoco existen los rectánulos, ya que si tres ángulos de un cuadrilátero son rectos, el cuarto debe ser agudo. Las rectas, entendidas como distancia más corta entre dos puntos, no son rectas (cuando vemos la pseudoesfera inmersa en un espacio euclídeo) y se denominan geodésicas.

4.2 Geometría elíptica de Riemann

Esta geometría rompe con el quinto postulado de forma contraria a como lo hace la geometría hiperbólica: dada una recta y un punto no incidente en esta, no existe ninguna recta paralela que pase por el punto y paralelo a la primera. El modelo para este geometría es la superficiece de una esfera considerada como plano, y una línea recta considerada como una circunferencia máxima.

5. El programa de Klein

Tras su ingreso al puesto de profesor de la Universidad de Erlangen, Felix Klein pronunció un discurso inaugural, conocido como el Programa de Erlangen, en el que mostró la geometría como el estudio de las propiedades invariantes ante un particular grupo algebracio, el grupo de las transformaciones. Por lo tanto, la clasificación de este grupo de transofrmaciones es una codificación de la goemetría. Por ejemplo, la geometría euclídea plana es el estudio de propiedades de figuras invariantes ante movimimento rígidos o isometrías.

Las transformaciones rígidas del plano pueden ser descritas analíticamente de la forma

$$\begin{cases} x’ = ax + by + c, \newline y’ = dx + ey + f \end{cases}$$

donde $ae-bd=1$, estas transformaciones forman los elementos de un grupo. La operación es la composición de aplicaciones. Si relajamos la condición de $ae-bd=1$ a $ae-bd\neq 0$, también obtenemos un grupo. Las longitudes y áreas no se conservan necesariamente, pero dada una cónica, obtenemos otra del mismo tipo tras la transformación. Estas transformaciones se conocen como transformaciones afines, y dan lugar a la geometría afín, que es un caso particular de la geometría proyectiva. Las transformaciones proyectivas pueden escribirse en la forma

$$x’ = \frac{ax+by+c}{dc+ey+f}, \quad y’ = \frac{Ax+By+c}{dx+ey+f}$$

6. Conclusiones

Hemos visto a través de este recorrido histórico que el desarrollo de la geometría ha sido irregular durante la historia de la humanidad. Mientras que los griegos lo llevaron a una época de esplendor, durante el imperio romano y alta y baja Edad Media, su desarrollo fue más bien nulo (si bien se puede decir de casi toda la disciplina matemática menos el álgebra). Durante el Renacimiento su desarrollo fue también limitado y circunscrito a asuntos prácticos, como la perspectiva, para el desarrollo de las artes, la arquitectura y la astronomía. En los siglos XVI y XVII hemos visto desarrollos más sustanciales, mientras que en el XVIII se produce de nuevo un estancamiento. Es en el siglo XIX cuando la geometría experimenta una segunda Edad de Oro, donde el enfoque clásico sufre grandes modificaciones y progresos gracias al descubrimiento de geometrías no euclídeas y al uso de técnicas novedosas (geometría diferencial y teoría de grupos).

Hoy día la geometría es una de las ramas más activas de las matemáticas, habiéndose resuleto problemas centenarios asociados a ella, como la conjetura de Poincaré (relacionada con la geometría diferencial y la topología algebraica), y existiendo numerosos avances en el campo de la geometría algebraica, con numerosas aplicaciones prácticas, como la criptografía basada en curvas elípticas.

Por último, como colofón, mencionar que el uso de la historia de las matemáticas ha sido propuesto recientemente como una herramienta poderosa en la didáctica. En el segundo congreso sobre la educación matemática (ICME), celebrado en 1972, se creó el grupo de trabajo “History, Pedagogy and Mathematics”, que ahondó en el uso de la historia de la matemática como una suerte de hermenéutica de la epistemología a través del estudio de las dificutades experimentadas por la humanidad en el desarrollo de conceptos matemáticos y cómo esto se puede trasladar a la propia comprensión de los discentes.